Matematika [antikvár]

A matematikai alapkutatások kimutatták, hogy a halmaz és a leképezés fogalma a matematika legtöbb területének felépítésében és fejlődésében alapvető fontosságú. A matematikai logika formalizálja azt a nyelvet, amelyen a matematikai állításokat kimondjuk; szabályokat állit fel, hogy az állitásokból új állításokra következtethessünk, állításformákat elemez, és bizonyítási módszereket fejleszt ki. Szokásos módon ennek alapjául a kétértékű logikát választják. A halmazelmélet precízen definiálja a halmaz fogalmát, a tiszta matematika legfontosabb konstrukciós segédeszközét, és tárgyalja halmazok összekapcsolását. A halmazalgebra szimbolikája és eredményei a matematika különféle részterületeinek egységes tárgyalására szolgálnak és fontos szerepük van a gyakorlati alkalmazásoknál (pl. számítógépek). A relációk összefüggéseket állítanak fel egyes halmazok vagy ezek különféle halmazainak egyes elemei között (pl. osztályozás ekvivalencia-relációk útján). A leképezéseket itt speciális relációkként definiáljuk. A halmazokra vonatkozó (algebrai, topologikus és rendezett) struktúrákat a reláció fogalmával lehet megérteni. A matematika minden részterületén felhasznál bizonyos halmazokat és ezek struktúráját. Számrendszer felépítésénél a számfogalom világos megfogalmazásáról és lépésenkénti kiterjesztéséről van szó. Emellett egy terület kiterjesztésének problémája bizonyos struktúrákra vonatkozó tulajdonságok szempontjából különös jelentősége van. A különböző dolgokkal - számokkal, alakzatokkal és struktúrákkal - való foglalkozás szükségessé tette a matematikának részterületekre való felosztását. A felosztásnak nemcsak tartalmi, hanem történelmi okai is vannak és figyelembe veszi más tudományok (többek között a fizika, a műszaki tudományok, geodézia) matematikára gyakorolt hatását. Az algebrában algebrailag strukturált halmazokat (csoportok, gyűrűk, testek, modulusok, vektorterek) vizsgálnak. Emellett módszereket adnak egyenletek és egyenletrendszerek megoldására. A lineáris algebra keretében bevezetik a mátrixokat és a determinánsokat, és ezeket lineáris egyenletrendszerek megoldására alkalmazzák. A Galois-elmélet segítségével a geometriai problémákat algebrai módszerekkel lehet tárgyalni. A számelmélet az oszthatóság kérdéseivel foglalkozik az egész számok gyűrűjében és az algebrai számtestekben. A segédeszközök az algebrából és az analízisből származnak. A geometria az alakzatok alakjával és méretével foglalkozik. A fogalmakat a szemléletes térből veszi kölcsön. Axiomatizálással a kiválasztott axióma-rendszertől függően igen eltérő absztrakt terekhez jutunk. Az analitikus geometria a vektorfogalom tereivel és alakzataival foglalkozik. Ezekkel és a koordináták bevezetésével a geometria algebrai tárgyalasat teszi lehetővé. A topológia olyan topológiai struktúrákat vizsgál, amelyekhez halmazokat lehet hozzárendelni. A fel- A matematikai részterületei 13 használt alapfogalmak (környezet, nyílt halmaz) az analízisből származnak. Az axiomatikus tárgyalás igen általános terek topológiai tárgyalását teszi lehetővé. Különösen fontosak a metrikus terek. Az algebrai topológia, amelyet régebben kombinatorikus topológiának (anafysis siíHínaij neveztek, algebrai segédeszközöket (csoportokat, modulusokat) használ fel topológiai problémák megoldására. A homotópia elmélete mellett a homológia elméletét fejlesztették ki a legnagyobb mértékben. A gráfelmélet a topológiából fejlődött ki. Olyan elméleti és gyakorlati problémákkal foglalkozik, amelyeket csúcsokra és ezeket összekötő élekre lehet visszavezetni. Az infinitezimáljs számítás a differenciál- és integrálszámítással a határérték fogalmán alapszik és ezzel eljut valós függvények különböző tulajdonságaihoz (differenciálhatóság - az érintő problémája, integrálhatóság - terület meghatározása). A függvényekre B'-ben definiált differenciál- és integrálszámítást R'-beli függvényekre is alkalmazzák. Az integrálelmélet általánosítása a mértékelmélet, amely azt a kérdést tárgyalja, lehet-e és hogyan lehet ponthalmazokhoz tartalommértékként valós számokat hozzárendelni. Gyakoriati problémák vezetnek (közönséges és parciális) differenciálegyenletekre. A differenciálegyenletek elmélete módszert ad ilyen egyenletek lehetőleg általános alakban való megoldására. Ha topológiai módszereket függvények halmazára (függvényterekre) alkalmazunk, úgy az infinitezimális számítás általánosításához jutunk, amellyel a funkcionálanalízis foglalkozik. Ezzel szoros összefüggésben áll a normált terek, különösen a topologikus vektorterek vizsgálata. A differenciálgeometria geometriai alakzatokkal (pl. R'-beli görbékkel és felületekkel) foglalkozik, amelyek az infinitezimális számítás módszerei számára hozzáférhetők. Fontos részterületek a görbeelmélet és a felületek elmélete. Az infinitezimáhs számítás módszereit komplex függvényekre alkalmazva különösen zárt elmélethez, a függvénytanhoz jutunk. Az analitikus folytatás módszerével jutunk a RiEMANN-féle felület fogalmához. A kombinatorika véges halmazok bizonyos számossági problémáival foglalkozik. Ezek a geometriában, a számelméletben, a gráfelméletben és a valószinűségszá-mításban jelentkeznek. A valószínűségszámítás a véletlen események bekövetkezésével foglalkozik és összeállítja az alapelveket a statisztika számára. M >'':í i7 I I . I.