Matematika II. [antikvár]

Részlet: "16.19 Összefoglalás A valós függvénytantól a komplex függvénytan abban is különbözik, hogy a független változó és a függvényérték komplex változó, azaz olyan összetett változó, melynek valós reeze is, képzetes része is valós változó. Mivel komplex számoknál az abszolutérték értekezett, és a komplex szám ab-szolutertéke alaptulajdonságaiban megegyezik a valós számok abszolutértékével, igy mindazok a definiciók, tételek, amelyek a valósban az abszolutérték jelet használják, minden további nélkül átvihetők a komplexbe, hiszen komplexben az alapmüveleteket a valóssal azonosan definiáltuk. Természetesen, mivel a komplex változót két valós változó jellemzi, igy a definiciók egy része a kétváltozós valós függvények definíciójához hasonló, pl. a környezet fogalma. A definícióknál, tételeknél döntő az, hogy a komplex függvény közvetlen z függvényében adott-e, vagy z valós és képzetes részének függvényében? Az első esetben a határérték, a folytonosság, deriválhatóság és ezekkel kapcsolatos tételek, melyek az abszolutértéket használják, azonosak a valósban megismert definiciókkal, tételekkel. Ha a komplex függvény z valós és képzetes részeinek segitségével adott, tehát un. algebrai alakban adott, akkor a fenti definiciók, tételek étirása olyan alakban történik, hogy a definícióknak állni kell külön-külön a függvény valós és képzetes részére is és megfordítva. Külön figyelmet érdemel az az eset, amikor a komplex változós függvény alakja: f(z) = u (x; y) + j v (x; y), ahol x = Rez, y = lm z, és a deriválhatóságot vizsgáljuk. A hangsúly azon van, hogy az ilyen alakban adott függvény z szerint deriválható-e, ha igen, mi a derivált függvény? Mivel A z bárhogyan tart O-hoz, a határértéknek azonosnak kell lenni, igy két, speciálisan kiválasztott ut mentén vett deriválból következik a deriválhatóság szükséges feltétele a Cauchy - Riemann féle parciális differenciálegyenletrendszer kielégülésének szükségessége. Ha a parciális deriváltak ezen kivül az adott helyen folytonosak, akkor a deriválhatóság szükséges és elégséges feltétele teljesül a C.R. d. e. rendszer kielégülése esetében. A valósban nem használatos a regularitás komplex függvénytani fogalma, mely szerint a z helyen reguláris a függvény, ha nemcsak a zQ helyen deriválható, hanem z környezetében is, bármilyen kicsiny legyen ez a környezet. Az adott tartományban reguláris függvény ott akárhányszor deriválható, s annak bármilyen helyén Taylor sorba fejthető. A komplex függvény görbementi integrálja is kapcsolatba hozható a kétváltozós valós függvény görbementi integráljával. Mig pl. a görbe pontjaiban csak folytonos függvény integrálja nemcsak a kezdő- és végponttól függ, hanem függ az integrálási úttól, addig a reguláris függvény görbementi integrálja független az úttól, csupán a kezdő- és végponttól függ. A Cauchy-féle integrálformula azt mondja ki, hogy ha a zárt G görbe belsejével együtt f(z) regularitási tartományához tartozik, akkor a G görbe belsejében lévő bármely helyen kiszámítható a függvény értéke, ha a függvényt csupán a görbe pontjaiban ismerjük. A Laurent sor egy körgyűrűben reguláris függvényt az a középpont körül (z-a)"