Matematika I. [antikvár]

1. BEVEZETES 1.1. Halmazok, halmazmüveletek Halmazon értjük bizonyos dolgok öszzességét. Ha egy x dolog hozzátartozik az X halmazhoz, akkor azt mondjuk, hogy x eleme az X halmaznak: x e X. Ea.y nem tartozik az X halmazhoz, akkor y nem eleme az X halmaznak: y ^ X. A "halma:^' és az "e/em" alapfogalom. A halmaz fogalmát körüL'rhatjuk, példákkal megvilágíthatjuk, de nem tudjuk definiálni. Egy halmazt akkor tekintünk adottnak, ha összes elemét ismerjük, vagy legalábbis van olyan pontos utasításunk, amelynek alapján minden dologról eldönthető, hogy a halmaznak eleme-e, vagy sem. Például: X - {x,y,z, } vagy A = {pozitív egész számok}. Egy halmazban minden elem csak egyszer szerepelhet. Ha egy halmaznak véges sok eleme van, azaz, ha egy természetes számmal megadhatjuk az elemeinek a számát, akkor azt véges halmaznak mondiuk. Véges halmaz az is, amelynek egyetlen eleme sincs, azaz elemeinek a száma 0. Ezt üres halmaznak nevezzük: 0. Ha egy halmaznak végtelen sok eleme van, azaz ha az elemeinek a számát természetes számmal nem adhatjuk meg, akkor azt végtelen halmaznak mondjuk. Ilyen például: A = {pozitív egész számok}, B — {pozitív páros számok}. Egy halmazt úgy adhatunk meg, hogy megadunk egy olyan utasítást, amelynek alapján bármiről egyértelműen eldönthetjük, hogy eleme-e a halmaznak, vagy sem. Véges halmazok elemeit felsorolhatjuk. A halmazokat szemléletessé tehetjük az ún. Venn-diagramokkal. A diagram csak jelképezi a halmazokat. A Venn-diagram egy-egy síkidom (pl. körlap), melynek pontjai jelképezik a halmaz elemeit. (1. ábra) B = {pozitív páros számok} C = {3;5;7} 1. ábra Értelmezzük két halmaz egyenlőségét: Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenlőnek, ha az egyik halmaz elemei a másik halinaz elemeivel azonosak, azaz M és N halmazok akkor és csak akkor egyenlők, ha a; e M esetén x e N is teljesül és ha 2/ M, akkor y ^ N is igaz.