Matematika IV. [antikvár]

I. KOMBINATORIKA 1. Permutációk AIII. osztályos kombmatorikaanyagban már szerepelt a permutáció fogalma. A teljesség kedvéért megismételjük a fogalmat. Megadott elemek egy rendezését az adott elemek egy permutációjának nevezzük. Megadott n különböző'elem permutációinak számát P„-nel jelöljük. Beláttuk, hogy Pn = n\ ahol «>1 esetén n\ azelsó' n pozitív egész szám szorzatát jelöli, s megállapodásunk szerint 1! = 1, 0! = 1. Gyakorlásul tekintsünk néhány példát. 1. Hány olyan ötjegyű szám van, amelyben az 1, 3, 5, 7, 9 számjegyek mindegyike szerepei? A keresett ötjegyű számokban mind az öt megadott számjegynek szerepelnie kell, ezért mindegyik számjegy pontosan egyszer szerepel. Ezért a keresett számok száma az 1,3, 5, 7, 9 elemek permutációinak számával egyezik meg, azaz Pg=:5! = 120 olyan ötjegyű szám van, amelyben az 1,3, 5, 7, 9 számjegyek mindegyike szerepel. 2. Határozzuk meg az 1. feladatban szereplő számok összegét! Az összeadást helyi értékenként végezzük. Az 1,3, 5, 7, illetve 9 számjegyek mindegyike annyiszor fordul elő az egyes helyi értékekben, ahányszor a fennmaradó 4 számjegy permutálható, azaz 4!=24-szer, Ezért az egyes helyi értéken levő számjegyek összege 4!(1 + 3+5+7+9)= =24 • 25=600. A tízes helyi értéken levő számjegyek összege ugyanennyi. Figyelembe véve a helyi értékeket is, ez az összeg 6000. Hasonlóan ál-